在幼儿园教学实践中，不少教师有过这样的经历：起初认为数学是很容易教的，以为数学知识通过教师的口耳相传和幼儿的吟诵练习，就能够从教师那里“转移”到幼儿的头脑中。然而在实践中却遭遇碰壁：幼儿要么是记不住，要么是记住了却不能理解和应用。于是教师又开始慨叹数学之难教，不知道是自己的教学出了什么问题，还是那些落后的幼儿真的缺少数学“天赋”。
   “会的孩子好像并不是我教会的，而不会的孩子却怎么也教不会他”。――来自教师的感受至少表达了两个信息：第一，我们对于“幼儿是怎样学习数学的”这一问题知之甚少，幼儿学习数学似乎是一个自发的过程；第二，对于“教师在幼儿学习数学的过程中可能起什么作用、应该起什么作用以及怎样起作用”，也是认识不清甚至表示怀疑。 
     一、数学是什么？ 
     在很多人心目中，数学就是计算。几乎每个人在成长的历程中，都经受过数数、加减之类的“数学启蒙”。然而，数学究竟是什么？这个问题并不容易回答。
    而在教育实践中，我们也常常感到困惑：儿童怎样才算是真正“掌握”了数学？
    下面的两个例子都是作者亲眼所见：
     事例一：某大班教师在一次活动中，让幼儿用“5元钱”去买两件“商品”。有一位幼儿成功地买来了两件“商品”，标价分别是“1元”和“4元”。但是，当她按照教师的要求用一道算式记录自己做的事情时，却令人不解地写下了“1+4＝0”的算式。就连她自己也感到奇怪：她明明记下了自己做的事情——用“5元钱”买了“1元”和“4元”的商品后钱全部花完，却得到了一个错误的算式。 
    事例二：某大班初期幼儿对于10以内的加减运算已经对答如流。在一次测查中，作者询问该儿童“3+4=7”表示的是什么意思。他除了回答“表示3加上4就是7”之外，任凭作者提示，也不能举出一件能够用这个算式来表示的具体事情。 
    在前一个事例中，幼儿尚处于数学抽象的初级阶段，她理解了具体的数学关系，能够解决具体的问题，却不能将其归纳为一个抽象的数学问题，用抽象化的符号来表示具体的事情。而后一个事例则是能熟练地解答数学问题，却不能将其还原为具体的问题。幼儿能够进行抽象符号运算的表面现象掩盖不了他理解上的缺陷――他不懂得抽象符号所表示的具体意义。
    因此，严格说来，这两位幼儿都不能算是掌握了数学。现代数学家普遍认为，数学是模式的科学。正如哲学家怀特海的表述：“数学是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究。”[1]尽管数学起源于现实的世界，但它是对现实世界的形式抽象。这种抽象跨越了事物的物质性的区别，只保留了它们的结构与形式。反过来，对这种抽象化的模式的研究，又具有现实的有效性，帮助解决现实的问题。
    恩格斯称数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。这种“空间形式”和“数量关系”，即是从具体现实世界中抽取出来、又区别于具体事物的“模式”。数学和一般自然科学的区别就在于，它研究的不是具体事物自身的特性，而是事物与事物之间的抽象关系，即数、量、形等等。数学和具体事物既有距离，又有着密切的关系。说数学是一门科学，它的真理性不仅表现为“现实真理”，即数学反映了真实世界中的某种关系形式或特征；还表现为一种“模式真理”，即数学是具有真实背景的、遵循科学规律的一种抽象。 
    简而言之，我们可以认为，数学就是一种模式，一种对模式的研究，或者一种模式化（抽象化）的过程。数学将具体的问题普遍化、抽象化为一个纯粹的数学问题，而对这个抽象的问题的解决又具有实际的意义，有助于解决实际的问题。因此，数学具有两重属性，即抽象性和现实性（或应用性）。著名数学家和数学教育家波利亚曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学。”
    数学的抽象性和现实性并不是对立的、矛盾的。现实生活是数学抽象的来源。恩格斯在其著作《反杜林论》中，对数学的实践本质作了精辟的论述。他写道：
   “数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现实世界中得来的。人们曾用来学习计数，从而用来作第一次算数运算的十个指头，可以是任何别的东西，但是总不是理性的自由创造物。为了计数，不仅要有可以计数的对象，而且还要有一种在考察对象时撇开对象的其它一切特性而仅仅照顾到数目的能力，而这种能力是长期以来的以经验为依据的历史发展的结果。和数的概念一样，形的概念也完全是从外部世界得来的，而不是在头脑中由纯粹的思维产生出来的。必须先存在具有一定形状的物体，把这些形状加以比较，然后才能构成形的概念。纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。……但是，正如同其它一切思维领域中的一样，从现实世界抽象出来的规律，在一定的发展阶段上就和现实世界脱离，并且作为某种独立的东西，作为世界必须适应的外来的规律与世界相对立。”
    恩格斯的论述不仅令人信服地说明了数学的实践本质，而且指出了，数学之所以具有应用性，正是因为它植根于现实世界并反映了现实世界的必然规律，这也正是数学真理性的根源。
    回到前面的两个事例上来。我们既然认识到数学的这两重属性，就更应该坚信：儿童学习数学，须从他们生活中熟悉的具体事物入手，逐步开始数学的抽象过程。仅仅停留于具体问题的解决不能称为数学，而不从具体的事物出发或者脱离具体实践来教授抽象的数学运算，更是违背了数学的本质属性。对于当前的教育现状，后一种问题可能更为突出。就在几年以前，市面上还流行过一种加法口诀的录音磁带。里面有一群童声跟着诵读：“一加一等于二、二加二等于四……” 而幼儿园里面，在懵懵懂懂、似懂非懂中学习数学运算的幼儿也不在少数。这些幼儿即便被教会了计算，也没有真正地学到数学。
    事实上，数学之难教，正是由于它“源于现实并高于现实”的双重属性：它既需要建立在具体事物的基础上，又需要拜摆脱具体事物进行抽象的思考。正由此，数学又具有双重的价值，即：理智训练价值和实践应用价值。
    二、数学教育对幼儿发展的价值
    幼儿处在逻辑思维萌发及初步发展的时期，也是数学概念初步形成的时期。这一时期的儿童还不能完全理解抽象的数学概念，但是并不是说他们就不可能学习数学。对于幼儿来说，学习数学同样具有理智训练和实践应用两方面的价值。除此之外，数学学习作为幼儿最早接触到的“学术性”学习活动，能够给他们一些早期的学习习惯和学习品质的训练，使他们将来能更好地适应小学阶段的学习。
    1．数学教育能使幼儿学会“数学地思维”，体验数学在生活中的应用。
    所谓“数学地思维”，就是用抽象化的方法解决生活中的具体问题。在我们的生活中，数学无处不在。很多具体的问题，都是数学问题的具体表现，都可以化归为一个数学的问题。例如：
    在生活中经常要遇到平分物品的事情：分一包糖果、分一块蛋糕等等，从日常的眼光来看，这是一个如何实现“公平原则”的问题。而从数学的眼光来看，它就是一个数学问题了：把一定数目的糖果平均分为两份是一个数目等分的问题，把一定形状（如圆形）的蛋糕平均分为两份则是一个图形等分的问题。相应地，在解决这个问题时，也会出现不同的方法。比较“笨”的方法是：用“一人一块”的方法依次分发糖果，凭经验把蛋糕切成大小相仿的两块、然后再从看起来较大的一块中切一点出来补偿给小块直至大家都认为均等为止。而“数学地思维”，则意味着首先要将其化归为数学的问题，然后解决这个数学的问题并再将其运用于具体的问题情境中。如我们数出一共有10粒糖果，则先解决10怎样能分成相等的两个数，然后再把糖果按相应的数量进行分配。同样我们可先判断蛋糕是什么形状，是圆形还是正方形，然后解决相应形状的二等分问题，再根据这个数学问题的解答方法来解决分蛋糕的问题。
    也许有人会以为，“分东西”只是一件很小的事情，而这里所谓“数学”的解决办法对幼儿来说似乎也没有什么特别。然而，正是这些生活世界中的具体问题，为幼儿提供了学习数学的素材，反过来数学也帮助他们更好地认识世界。也就是说，数学教育为幼儿的生活世界和数学的世界架起了一座金桥。
    从认识世界的角度看，数学教育能帮助幼儿正确地认识现实世界。
    众所周知，数学是一种独特的语言。它的精确性、抽象性和逻辑性可以使我们也更加精确地、概括地认识生活中的各种事物及它们之间的关系。而对于一个还没有掌握数学工具，或者还不能自觉运用数学工具的幼儿来说，他们对世界的认识就不一样了。一个1岁多的孩子，拿着一块饼干直嚷着“还要”，爸爸把这块饼干掰成两半，使一块饼干“变成”两块，他就心满意足了，而不知饼干并没有变多。再如，我们问一个还不会计数的2、3岁幼儿：“你家里一共有几个人？”他能列举出“家里有爸爸、妈妈，还有我”，却回答不出“一共有3个人”。甚至有的幼儿虽能通过直觉进行多少的判断，却不能正确地认识事物的数量特征。由此可见，数学对于幼儿正确地认识和描述事物是多么重要。 
    数学不仅能帮助儿童精确地认识事物的数量属性，还能帮助儿童概括地认识事物，即从具体的现象和事物中，抽象出各种数学关系，获得对事物之间的关系的认识。林嘉绥教授曾指出，学前儿童学习的数学内容中蕴含着许多数学关系：1和许多的关系、对应关系、等量关系、守恒关系、可逆关系、包含关系……等等。数学教育能够使儿童充分体验并注意到蕴含在具体事物背后的抽象关系。 
    另方面，从学习数学的角度看，数学教育能使幼儿获得一种数学的思维方式。
    幼儿学习数学的任务不在于掌握系统的数学知识结构，而应是获得一种数学的思维方式。在现实生活中，数学既是一种普遍的存在，又是一种抽象的存在。有了数学的思维方式，儿童就能够发现生活中的数学，自觉地将具体问题转化为抽象的数学模式并加以解决。从而进入美妙的数学世界之中。 
    在整个学前时期，儿童抽象逻辑思维的发展还不完善。表现在数学方面，他们尽管掌握了一定的数学知识，但往往仍受到直接感知到的事实的限制，而不能依据逻辑进行合理的判断。比如，中班的幼儿在判断一幅图画中猫多还是鱼多时发生了争论。有的说“猫多”，“因为我看出来的”，也有的说“鱼多”，“因为我数过，发现鱼有7条，猫只有6只”。在这个问题中，教师设置了一个障碍，即猫的数量比鱼少，但是它的体积大，所占空间也大。儿童如果不逐一点数，而是凭直觉的感知，就不能正确地判断。在这个问题中，对数学问题的敏感性成为解决问题的关键。有的幼儿把它看成一个对具体形象的感知和比较，而有的幼儿则看到了其中的数量关系。 
    实践证明，数学教育能够养成幼儿对数学问题的敏感性，即用数学的方法解决日常所遇到的问题。曾有一位大班教师向作者讲述过这样一个事例： 
    在六一儿童节前夕，教师和幼儿商量决定把自己的活动室装扮一下。他们找来长长的皱纹纸拉起了彩带，并在彩带上悬挂了一些挂饰。不过，他们对于挂饰之间疏密不一的间距感到不满意。正在他们为此犯难的时候，有一位幼儿想出了一个好主意。他拿来一块长积木，建议大家：“先用这块积木来量一下，然后再挂挂饰，这样它们之间就都是一块积木的距离了。” 教师对这位幼儿的主意感到十分惊讶。因为确实连她自己也没有想到这样好的办法。令她更加高兴的是，幼儿竟能够自觉运用课堂上学到的数学知识解决实际问题了。
    这个事例生动地说明了，数学教育的最高境界不是让幼儿学会计算，而是让幼儿能够“数学地思维”，能够发现生活中的数学，认识到数学和生活的联系。教育部于2001年7月正式颁布的《幼儿园教育指导纲要》（试行）中，将“能从生活和游戏中感受事物的数量关系并体验到数学的重要和有趣”列为数学教育最重要的目标，也正是强调了这一点。
    2．数学教育能训练幼儿的抽象思维能力，促进其逻辑思维的发展。
    数学本身所具有的抽象性、逻辑性以及在实践中广泛的应用性，决定了数学教育是促进幼儿思维发展的重要途径。革命导师曾生动地说：“数学是思维的体操”。其意义就是指，数学能够锻炼人的思维。
    数学是人类的一种独特的语言。这种语言完全不同于其他的表达方式。比如，文字的语言讲求意义的明了，艺术的语言讲求意境的深远，而数学的语言则讲求简练和逻辑。数学以简单的符号代替复杂的事物，以抽象的逻辑推理代替具体的关系。一个简单的数字“1”或算式“1＋1=2”可以表示许许多多的具体含义，而“如果A<B，B<C，则A<C”的式子，则完全是在抽象层次上的推理，而隐含了具体事物之间的比较。
    数学也是一种独特的思维方式。这种思维方式的特点就是将具体的问题归结为模式化的数学问题，并用数学的方法寻求解决。如下面的问题：
    一位小朋友有5元钱，去超市里买商品。超市里商品的价格有1元、2元、3元、4元。如果要把钱用完，应该怎样买？可以哪些有不同的方法？
    这虽然是一个日常生活中的问题，但是它又可归结为数的组成问题。如果我们用数学的方法去思考，就可避免尝试错误式的学习，而将其抽象为一个数学问题，并且运用数的组成的知识加以解决。
    数学将具体的事物和问题加以模式化，使之成为抽象的问题。它帮助我们透过具体的、表面的现象，揭示事物的本质的、共同的特征。正因为此，学习用数学的方法解决问题，可以帮助我们学习抽象思维的方法。数学是发展幼儿抽象逻辑思维的途径。
    幼儿思维发展的特点是，具体形象思维逐渐取代直觉行动思维而成为主要的思维类型，同时抽象逻辑思维开始萌芽。也就是说，幼儿的思维虽然还不能完全摆脱具体的动作和形象的束缚，但已经开始了向抽象逻辑思维过渡的漫长时期。对于某些具体的问题或情境，幼儿已能够用逻辑的方法进行思考和推理，而且也能概括出具体事物的共同特征，进行初步的抽象。这说明幼儿已具有发展初步的抽象逻辑思维的可能性。
    数学思维的特点正在于它的抽象性和逻辑性。数学把具体的问题抽象化，即去除那些具体的事实，揭示其在数量上的本质特点，并运用数学的方法加以解决。比如“妈妈给小红1只苹果，然后又给了小红3只苹果，妈妈一共给小红几只苹果？”这个问题，用数学的思维方法来解决，就要排除具体的情节（妈妈给小红苹果），而要抽象出其中的数量关系：1和3合起来是多少，并运用加法运算得以解决。
    数学思维追求的是逻辑上的合理性，而不是事实上的合理性。比如在进行“5的分合”活动的操作时，要幼儿把5只苹果分给爷爷和奶奶，结果很多大班幼儿都感到很为难，因为5只苹果无法平均分配，于是就分给爷爷和奶奶各2只，还剩1只则放在一边。幼儿不是考虑自己有没有“把5分成两份”，而是关心自己分得是否公平。而作为一个数学问题则相反，幼儿不必考虑分得是否公平，重要的是要遵守一定的逻辑规则，即“把5分成两份”，既不是把4只苹果分成两份，也不是把5分成3份。数学问题是一个逻辑问题，而不是一个事实问题。它和真正的事实是有距离的。 
    幼儿学习数学，需要一定的抽象能力和逻辑上的准备。反过来，数学又可以促进其抽象逻辑思维的发展。幼儿可以借助具体的事物和直接的操作活动，获取一些粗浅的数学经验。这些经验对于他们建构抽象的数学概念是非常重要的。而且，在学习数学的过程中，儿童的抽象逻辑思维也能得到发展。
    例如，幼儿对“数的组成”的学习和理解，就经历了一个从具体到抽象的过程。起初幼儿在分5个苹果、5个梨子、5个玩具……，他们把这些具体的操作都看成孤立的、不同的事情，而没有看到它们在本质上的共同点。在进行了一段时间的操作练习以后，幼儿突然发现，分5个苹果和分5个梨子的结果是一样的，因为“它们都是分5”。再以后，只要遇到是分5个东西，他们都知道怎样分了。在这个过程中，幼儿不仅理解了数的组成的抽象含义，而且也发展了初步的抽象思维的能力。
    此外，在“数的组成”的学习中，幼儿的逻辑思维也能通过数学教育得到了初步的发展。林嘉绥教授在其研究报告中指出，数的组成实质是数群和子群之间的逻辑关系：等量关系、互补关系和互换关系。[2]幼儿在操作中尝试找出同一个数的不同分法，不仅加深了对总数和部分数之间关系的理解，而且还能体验到两个部分数之间的逻辑关系。
    国内很多心理与教育的实验和实践都证实了，早期的数学教育能够促进幼儿的初步抽象思维能力和逻辑推理能力的发展。例如林嘉绥等的《3-6岁儿童掌握长度排序的初步探讨》的实验研究，证明了幼儿期，特别是5-6岁儿童具有初步理解数量中的可逆性、传递性（推理）和双重性（相对性）的能力[3]。我们在数学教育的实践中也发现，数学教育对幼儿思维的抽象性、逻辑性的发展有明显的促进作用。例如在进行“数的组成”教学时，我们让幼儿通过操作活动自己发现和总结有关5的组成的知识。幼儿不仅能够理解数的组成的抽象含义，还能根据5的组成的知识，通过自己的推理获知6、7的组成，有的幼儿甚至还能总结出：把n分成两份，有n-1种分法。可见数学教育不仅能使幼儿获得基本的数学知识，更能发展儿童的一般思维能力。
    3．数学教育能培养幼儿良好的学习习惯和学习品质，以更好地适应小学阶段的学习。
    在幼儿园中，数学学习是一项比较特别的活动。具体表现在：
    数学学习是一项比较正式的操作活动。它经常采用“作业”的形式，带有较明确的任务性；
    数学的操作和作业活动往往有明确的规则、要求和评判标准；
    数学的“是非”标准比较明确、客观。而且幼儿对于数学操作结果的对错也比较敏感……
    数学学习的这些特点，正为培养幼儿学习的任务意识、规则意识，激发幼儿学习动机提供了得天独厚的条件。
    年幼的儿童在进行数学操作活动时，起初并没有明确的任务意识。有时，小班幼儿在操作的过程中，会忘记自己正在进行的操作任务。在教师的要求下，幼儿能逐渐形成初步的任务意识。任务意识对于幼儿学习习惯的养成，特别是适应小学阶段的学习是很有意义的。
    此外，幼儿对规则的遵从也是在数学学习活动中逐步发展起来的。教师在数学活动中，往往会对幼儿提出一定的操作要求，规定幼儿按照一定的规则进行操作。规则在数学活动中具有特别重要的意义。只有遵从一定的规则，才能显现出数学特有的逻辑性。比如，“按特征分类”的活动，就要求幼儿给一组物体按照特定的标准（颜色或形状）进行分类，而不能随意乱分，否则幼儿就不可能理解其中所蕴含的逻辑。尽管有的小班幼儿开始并不能完全听从规则，常常“自行其是”，但是随着他们认识能力的发展，会逐渐理解规则的意义，并按照规则操作。幼儿对操作规则的理解和遵守，具有双重的意义。它既是幼儿完成数学操作的保证，也是幼儿社会性发展的具体表现。任务意识、规则意识的发展，能为幼儿适应小学的正规化的学习活动打下了重要的基础。 
    数学教育还能培养幼儿学习数学的主动性、积极性，激发其学习动机。幼儿园的数学活动为幼儿提供了主动参与活动的机会。即使在小班的数学活动中，幼儿也有机会主动地活动。比如，教师为了让幼儿认识圆形和方形，请他们到教室内外到处寻找，哪些东西是圆形的，哪些东西是方形的。幼儿也非常积极主动地去寻找。对于较大的幼儿，教师常常给他们同时提供多种活动内容，幼儿可以自己选择活动内容和材料，自己独立完成各种操作活动。这些都能够培养幼儿学习的主动性、积极性。 
    由于数学本身所具有的抽象性特点，它既不像自然物那样具备外在的形象，也不像科学现象那样发生奇幻的变化，更不像艺术作品那样富于动人的旋律或鲜艳的色彩，幼儿一般不会自发地对事物背后抽象的数学属性产生兴趣。但是，只要教师选择恰当的教育内容，采用得当的方法，并加以适当的引导，同样可以激发幼儿对数学的兴趣。幼儿对数学的兴趣往往开始于对材料的兴趣，对活动的过程和成果的兴趣。教师如提供色彩鲜艳、形象可爱的操作材料，能够吸引幼儿操作的兴趣，进而将兴趣转移到操作的内容。在数学操作活动的过程中，让幼儿自主操作，充分地和材料相互作用，能够满足幼儿操作的愿望，培养幼儿对数学操作活动的兴趣。有的活动还让幼儿通过操作完成一个小小的作品或作业，也能强化幼儿对数学活动的兴趣。当幼儿在具体操作活动中真正体验到数学内在的魅力，就会使这种对数学操作活动的外在的兴趣转变成对数学本身的内在的兴趣。这种兴趣不仅是对数学知识的兴趣，更是一种对理智活动和思维活动的兴趣。如果幼儿真正体会到数学的乐趣和学习的乐趣，幼儿园的数学学习必将成为他们学校生涯的良好开端。而如果幼儿真正获得一种全面的学习准备，而不仅仅是一种数学知识上的准备，他们将终生受益。
    无论在东方还是西方的文化中，数学都是年轻一代学习的一门重要学科。数学作为人类文化的一个重要组成部分，是幼儿将要面临的一个长期的学习任务。这并不是说，要使每个儿童将来都成为数学家，或者从事和数学有关的工作。事实上，这样的人所占比例很少，对于其他大多数人来说，数学的作用在于使之形成一种思维习惯，并帮助他们解决日常生活中的具体问题。这一观点是和世界上从20世纪80年代开始兴起的“大众数学”的教育观念是相一致的，即：
    （1）人人学有用的数学；
   （2）人人掌握数学；
   （3）不同的人学习不同的数学。
   （4）而幼儿园阶段的数学教育，作为一种数学启蒙，其价值更体现在培养幼儿基本的数学素养，包括对数学活动的兴趣，主动学习数学和运用数学的态度等。