（一） 皮亚杰的幼儿数概念发展理论
    皮亚杰在研究人的认知过程中，运用临床研究的方法，观察幼儿的心智发展。在幼儿早期的书概念发展中，皮亚杰提出：幼儿数学能力的发展和幼儿对数的理解依赖于他们的逻辑概念的发展。如对物体排序能力的发展，数概念的发展都可以从思维的逻辑结构对应的特征来得到解释。
    皮亚杰还认为，幼儿数概念的发展是其主动建构的过程，而文化的传递和后天的学习经验对幼儿数学概念的形成与建立影响不是很大。就如同，一个人学习语言的过程是不同民族都具有的相似特征。但是，他认为教师是幼儿发展的支持者，教师的基本任务是促进幼儿的主动学习。
    皮亚杰的幼儿数学能力的发展理论，对我们有以下三个方面的启迪作用。
    1、他认为幼儿在不同的年龄阶段具有不同的认知运算结构，这种结构对幼儿的数学能力的发展和学习有着重要的作用。即幼儿的书概念发展与幼儿的逻辑思维能力的发展有着非常密切的联系。数学知识与其他知识的不同点在于它包含一定的逻辑关系，因而幼儿对书概念的理解必然包含有对逻辑关系的理解与认识。
    他还认为，数概念是幼儿逻辑思维能力发展的后期成果，幼儿的数学学习与理解是在其当时的认知水平的前提下发生的。就如同幼儿的说话是与其发音器官的成熟、理解能力的发展为前提的一样。皮亚杰指出“数概念的建构和逻辑思维的发展是联系在一起的。前书概念水平阶段和前逻辑思维水平阶段是相对应的，数学运算和逻辑思维因而组成了一个系统，数学运算来自逻辑思维的概括和整合。”
    2、数学知识的学习得和其它的认知活动成果一样，不是天生的，也不是对外在刺激的直接反应或来自于自己的经验，而是幼儿自己在活动中主动建构和“重新发明”的过程。也就是说，幼儿并不是通过承认的口头教育和解释来理解和学习数学知识的。如果幼儿自己没有建立这种主动学习过程，即使再生动的解释也不能使幼儿达到真正意义上的理解。最根本的是，幼儿学习数学是在自己的经验基础上主动建构与探索的过程。因此，对幼儿的数学学习来说，活动过程比结果更为重要。
    3、皮亚杰强调动作在幼儿数学能力发展中的重要作用。
    他认为，幼儿对数学的运用是认知运算内化的前提条件。幼儿的数学学习离不开对物体的操作，是一种主动的、自律的活动。
    皮亚杰指出：“假定幼儿只是从数学中获得数的观念和其它数学概念那是一个极大的错误。相反，在相当程度上，幼儿是自己独立地、自发地发展着这些观念和概念的。”在幼儿操作学具时，我们并不能简单地这样认为：幼儿操作了，他就一定能实现这些学具中预定功能。实际上，幼儿所获得的经验与能力，是与他们的认知水平发展有着密切联系的。要使幼儿获得数概念，需要有大量的经验积累，需要在生活中有着与思维和动作相关的多方面的操作与体验活动。因此，教师应创造环境、利用生活中的各种环境，为幼儿提供操作与体验探索的机会；还可以利用蒙台梭利已经物体化的数学教具，让幼儿有机会发现事物的这种数量特征以及相关的数量关系，这些过程对幼儿学习数学是大有裨益的。
    在皮亚杰的研究基础上，美国学者克莱门茨的实验研究也表明，对幼儿进行逻辑思维的培养和数数活动的训练同样能有促进幼儿逻辑运算能力的发展。而且他还发现，对幼儿进行数数能力的培养更能很好地促进幼儿数概念的发展。幼儿的逻辑思维水平会影响幼儿的符号系统的学习。如果幼儿没有达到一定的逻辑思维发展水平，幼儿在学习数学符号系统时就会有困难，或者学了也不懂。这再一次证明了，幼儿的逻辑思维能力与数概念的发展有着密切的关系。
   （二） 格尔曼、富森等的“数数模式”理论
    美国儿童心理学家格尔曼长期以来一直致力于对早期幼儿数数能力的研究。通过研究，他认为幼儿数数活动在幼儿早期数概念的发展中具有重要的作用。他发现，即使是3岁幼儿的数数都不仅仅是单纯的语言能力，而且还表现出遵守数数原则的复杂的认知能力。
    幼儿早期的这种数数能力，与幼儿的思维能力发展有着相互影响的作用。二者是一种相互促进的关系。
    美国儿童心理学家富森也研究得出结果认为，幼儿早期数概念的建立与幼儿的数数能力发展有着密切联系，幼儿数概念的发展有助于幼儿数数技能的整合和应用，同时幼儿数数的学习经验直接影响着幼儿数概念的建立与发展，而且他们发现，幼儿的数数也是他们最初学习加、减运算的不可缺少的工具。
    另有一种研究观点认为，幼儿的数数经验是幼儿后天学习的结果。幼儿最初的数数行为是一种无意识的模仿行为，幼儿通过在实际生活和具体情境中的数数实践逐步理解了数数的含义。幼儿数概念的发展是渐进的，建立在感知经验的基础之上。同时，也是社会生活对这一能力的影响过程。
   （三） 蒙台梭利关于数学能力发展的理论
    1、抓住幼儿数学学习的敏感期，尊重幼儿数学发展的阶段性。
    蒙台梭利在她的《发现儿童》一书中指出：幼儿不会因为别人可能已经得到的东西而受到干扰。相反，一个胜利会引起人人的赞美和高兴，而且还有人满心欢喜地效仿。幼儿石斛都乐意去干“他们能干的事情”
她认为：当我们认为幼儿的愿望不过是拥有一条知识时，我们便重复多次。这是非常错误的。因为，从智力上，我们是帮助幼儿去掌握这条片断的知识，可是用这种办法，却阻碍了幼儿自我发展。
    在教育幼儿时，蒙台梭利提出了一个重要的原则，即童年时代的每一个年龄，每一个阶段都有其特殊的需要，如果这些需要不在最突出的时机得到满足，那么幼儿某些能力的发展将永远受到抑制。这就是她认为的幼儿能力的“关键期”
    2、 早期数学学习应建立在幼儿操作的基础上。
    蒙台梭利认为，幼儿早期的数学学习的特点是一种典型的感知经验性学习，而不是抽象的、理性的学习。她说，我们习惯于服侍幼儿，这不仅是一个为他们服务的举动，而且是一个危险的举动，因为它容易窒息幼儿有益的自发活动，而我们没有想一想，不动手去做的幼儿是不知道如何去做的。
    因此，她相信，幼儿数学教育必须以具体化的抽象来引导孩子学习数学。“具体化的抽象”是蒙台梭利数学教育中的一个突出的观点。幼儿需要具体的物体来支持思维的探索，但同时，数学又是一种抽象的经验，是在实践上的抽象。所以蒙台梭利创制了蒙氏教育中所特有的蒙台梭利教具。这种教具正是她这种教育思想的体现。
    蒙台梭利的教育性材料的基本原则，就是活动者协调有序，使幼儿在从事活动时，很容易就判断自己成败的程度。这些教育材料的使用，有幼儿自己探索的活动，也有群体在具体环境中一起做，一起讨论。
    3、 强调“有准备的环境”对幼儿数学能力发展的影响。
    蒙台梭利非常重视给幼儿提供大量的学习数学材料。这是蒙台梭利认为的必须设立“有准备”的学习环境，为幼儿可能对数概念获得真正经验和熟悉数量而提供的。她认为，对数的理解与感知，是幼儿在环境作用下发生兴趣时而实现的。
    蒙台梭利非常重视有准备的环境对幼儿发展的印象，环境不仅包括幼儿园，还包括自然环境、社会环境、人际关系环境。她说，在教育当中最重要的是给幼儿提供“有准备的环境”。在传统的教育中，教育就是包括教师和幼儿这两个因素教师育，幼儿学。但她认为，“有准备的环境”应包括教师、幼儿和环境这三个要素，而且，她把环境列为教育的第一要素。